Resumen Capitulo 2

Tranformaciones geometricas.
Las transformaciones geométricas básicas son la traslación, la rotación y la escalación.
La traslación mueve un objeto con una trayectoria en línea recta de una posición a otra. La
rotación mueve un objeto de una posición a otra a lo largo de una trayectoria circular sobre
un eje de rotación específico.

Traslación
Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la
trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un
punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty a la posición de
coordenadas original (x, y) para mover el punto a una nueva posición (x’, y’).

Rotación
Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la
trayectoria de una circunferencia en el plano de xy. para generar una rotación,
especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (xr, yr) del punto de rotación (o punto
pivote) en torno al cual se gira el objeto.

Escalación
Una transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar esta
operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por
los factores de escalación sx y sy para producir las coordenadas transformadas (x’, y’)

Coordenadas homogéneas y representación matricial

En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones,
rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones
apropiadas. En este tema consideramos cómo se pueden volver a formular las
representaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas
secuencias de transformación.

Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz
general con las posiciones de coordenadas P y P’ representadas como columnas de vector.

Representación matricial de transformaciones tridimensionales
Así como las transformaciones bidimensionales se pueden representar con matrices de
3 X 3 usando coordenadas homogéneas, las transformaciones tridimensionales se pueden
representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de
coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional.

Para encontrar la matriz de la posición transformada expresamos posiciones de
coordenadas como matrices de columna. Elegimos la representación de matriz columna para
puntos de coordenadas porque ese es el convenio matemático estándar y, muchos
paquetes gráficos siguen dicha convención.

Nos referimos a una matriz de tres o cuatro elementos (vector) como una
representación de coordenadas homogéneas. Para transformaciones geométricas, al
coeficiente homogéneo se le asigna el valor 1.

Las transformaciones compuestas se forman como multiplicación de matrices de
traslación, rotación, cambio de escala y otras transformaciones. Podemos usar
combinaciones de traslación y rotación para aplicaciones de animación y podemos usar
combinaciones de rotación y escalación para cambiar el tamaño de los objetos en cualquier
dirección especificada.